用R来进行布丰投针实验

March 27, 2012
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在3月14日也就圆周率日那一天,果壳网推出一篇文章《圆周率日特献:π究竟牛B在哪里?》。其中就提到了布丰(Buffon)用投针实验来计算π的近似值。不过这篇文章并没有详细说明如何用软件来做这个实验,也看到网上有朋友在问具体的过程。所以本文尝试用R来实现这个实验,算是狗尾续貂以作消遣。另外,Maxtrix67魏太云都对这个问题有过精彩的论述,有兴趣的朋友可以参考一下。

简单来讲,投针实验是指假设有两根平行的线,它们之间的距离是1。随意抛掷一根长度为0.5的针,那么投针便有机会与平行线相交。如果总的投掷次数为N,发生相交的次数为X,那么可以用N/X来估计π的值。具体的故事和公式还可以参考这个文章

为了在R中实现这个实验过程,我们先绘制出一个空的图形,再加两根平行线。可以只考虑针与一条线的相交情况,我们用一个while循环来进行反复投针,其中用随机数来模拟投针的坐标和角度,并绘制在图形中。如果发现相交则增加变量cross的计数,同时用cat函数显示实验次数和估计值。下图是根据上述假设编写代码所绘制的图形。如果你自己在R语言中运行代码,可以按空格来反复投针,用y来结束实验,可以观察到当试验次数增加,估计值也随之接近真值。
R代码如下:
rm(list=ls())
# 绘制空白图形
plot(c(0,2),c(0,2),type='n',main='布丰投针实验',xlab='X',ylab='Y')
# 增加平行线
abline(h=0.5)
abline(h=1.5,col='red')
finished <- FALSE
# trial为实验次数,cross为交叉次数
trial <- 0
cross <- 0
while (!finished) {
# Dist为针的中心距离红线的垂直距离
# Theta为针的角度
Dist <- runif(1,min=0,max=1/2)
Theta <- runif(1,0,pi)
# central.x为针中心点的横坐标
# central.y为针中心点的纵坐标
central.x <- runif(1,0.5,1.5)
central.y <- Dist +1
# 计算针两端的坐标
y1 <- sin(Theta)/4 + central.y
x1 <- cos(Theta)/4 + central.x
y2 <- sin(Theta+pi)/4 + central.y
x2 <- cos(Theta+pi)/4 + central.x
trial <- trial +1
# 计数交叉次数
cross <- cross + ifelse(0.25*sin(Theta)>=Dist,1,0)
# 绘制针的线型和中心点
lines(c(x1,x2),c(y1,y2),lty=2)
points(central.x,central.y,pch=16,col='grey')
cat('trial=',trial,'cross=',cross,'PI=',trial/cross,'\n')
#continue?
input <- readline('stop?')
# 若输入y,则结束实验
if (input =='y') finished <- TRUE
}

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